François Viète wird von vielen Historikern als Begründer der modernen Algebra angesehen, aber seine Arbeit hat nicht die akademische Aufmerksamkeit erhalten, die sie verdient. Professor Jeffrey Oaks von der University of Indianapolis versucht, dieses Ungleichgewicht auszugleichen. Durch sein Studium der Mathematik des Mittelalters und der Renaissance zeigt Professor Oaks, wie Viète die Algebra auf einem geometrischen Fundament wiederherstellte; und dabei eine völlig neue Notation geschaffen. Seine Arbeit inspirierte Fermat’s und Descartes’ Entwicklungen und führte zu Algebra immer die Sprache der Wissenschaft.

Das Wort Algebra leitet sich vom arabischen al-jabr ab, was Wiederherstellung oder Wiedervereinigung gebrochener Teile bedeutet. Die Algebra kann bis ins neunte Jahrhundert n. Chr. zurückverfolgt werden Arabische Bücher zu diesem Thema, und davor, Wir finden, dass es in Indien praktiziert wurde, Griechenland, und sogar das alte Babylonien.

Ein geometrisches Polynom aus Viètes De Recognitione Aequationum (1615), das in unsere Notation als A4 +2B∙ A3+B2∙ A2 übersetzt werden kann. Beachten Sie unter anderem die Präpositionen “in” für die Multiplikation und das Fehlen des Koeffizienten “1” vor dem “A”. quad.”

Algebra vor 1500, ob in Arabisch, Latein oder Italienisch, wurde überwiegend zur numerischen Problemlösung von Praktikern wie Kaufleuten, Regierungssekretären und Landvermessern verwendet. Nur wenige Mathematiker verwendeten es für mehr ‘wissenschaftliche’ Heldentaten, wie Diophantus im 3. Jahrhundert CE, Omar Khayyam im 11. Jahrhundert und Jordanus de Nemore im 13. Jahrhundert.

Die Algebra erregte im Italien des sechzehnten Jahrhunderts die Aufmerksamkeit theoretisch denkender Mathematiker. Mathematiker wie Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia, Girolamo Cardano und Rafael Bombelli hatten schließlich irreduzible kubische und quartische Gleichungen gelöst und dabei begonnen, negative und komplexe Zahlen zu erforschen.

Porträt von Viète aus Savériens 1773 Histoire des Philosophes.

François Viète
François Viète (1540 -1603), ein französischer Anwalt am Hof Heinrichs IV., nahm die Algebra in eine völlig andere Richtung als seine Vorgänger. Ab 1591 veröffentlichte er eine Reihe kurzer Abhandlungen, in denen seine algebraischen Bekannten und Unbekannten, die er ‘Magnituden’ nennt, Dimensionen ohne Grenzen besitzen und zum ersten Mal willkürliche Bekannte in Notation dargestellt werden. Es ist vor allem wegen seiner Notation Innovationen, die er von einigen Historikern als Begründer der modernen Algebra gutgeschrieben wurde.

Ein missverstandener Mathematiker
Trotz Viètes Bedeutung und teilweise aufgrund seines eigenen knappen und manchmal verwirrenden Stils wurde seine Arbeit missverstanden und erhielt nicht die ernsthafte Aufmerksamkeit, die sie verdient. Für Starter, Was sind diese Großbuchstaben, die er in seiner neuen Algebra verwendet? Jeffrey Oaks, Professor für Mathematik an der Universität von Indianapolis, korrigiert dies jedoch. Vor fast zwei Jahrzehnten beschloss er, seine beiden Hauptinteressen, Mathematik und Geschichte, mit dem Studium der mittelalterlichen arabischen Mathematik zu verbinden. Professor Oaks engagierte die Hilfe eines palästinensischen Kollegen, um ihm Arabisch beizubringen, und begann mit dem Studium der arabischen Algebra. Seine frühen Arbeiten enthüllten die konzeptionellen Unterschiede zwischen mittelalterlicher und moderner Algebra, und diese Studien legten den Grundstein für seine spätere Arbeit an Viète.

Vormoderne Polynome
Oaks entdeckte, dass Algebraisten vor Viète die Objekte ihrer Studie, dh Monome, Polynome und Gleichungen, anders verstanden als heute. Ein vormodernes Polynom wurde als eine Sammlung verschiedener Arten von Zahlen oder Potenzen angesehen, ohne dass Operationen vorhanden waren. Wo unser x2 + 3x zum Beispiel aus den Operationen der Potenzierung, Skalarmultiplikation und Addition aufgebaut ist, war das mittelalterliche Äquivalent ‘ein māl und drei Dinge’ (hier aus dem Arabischen übersetzt) einfach eine Sammlung von vier Gegenständen von zwei Arten, wie zum Beispiel ‘ein Apfel und drei Bananen’. Diese Interpretation lag hinter der Algebra im altgriechischen, mittelalterlichen Arabisch, Latein und Italienisch und sogar in der Algebra des sechzehnten Jahrhunderts in Europa.

Viète war auch der erste Mathematiker, der über
hinaus die dritte Dimension in der Geometrie erforschte.

Eine neue Algebra für die Geometrie
Vor Viète waren die Bekannten und Unbekannten in der Algebra positive Zahlen. Viète weicht von dieser Norm ab, jedoch in einer Weise, die zuvor nicht richtig analysiert wurde. Professor Oaks hat die gesamte Ausgabe von Viète zusammen mit einer umfangreichen mathematischen Literatur aus dieser Zeit überprüft und festgestellt, dass Viètes Buchstaben, die für seine Bekannten und Unbekannten stehen, stattdessen geometrische Größen wie Linien und Oberflächen darstellen. Genauer gesagt stellen sie die relativen Größen dar, die geometrische Größen zueinander haben, ohne Rücksicht auf mögliche numerische Maße. Mit anderen Worten, Viète schuf eine Algebra für die klassische Geometrie.

Links: Ein Polynom aus Michael Stifels Buch Arithmetica Integra (1544) mit vormoderner Notation. Wir würden es als 150x-√ (4500×2)+x2 schreiben. Beachten Sie den Koeffizienten “1” für den letzten Term. Vergleichen Sie mit der Notation auf der vorherigen Seite. Recht: Titelseite zu Vassets französischer Übersetzung von zwei Werken Viètes von 1630, die Viète rechts zeigt.

Was Viète antrieb, war sein Interesse an der Herstellung genauer astronomischer Tabellen. Er war der griechischen Tradition treu, die in Ptolemäus ‘Almagest (2. Jahrhundert n. Chr.) veranschaulicht wurde, indem er die Geometrie als theoretische Grundlage für Berechnungen in der Astronomie betrachtete. (Selbst wenn Größen kein intrinsisches numerisches Maß haben, kann man ihnen numerische Maße zuweisen.) Ptolemäus hatte die Algebra nicht benutzt, um seine Theoreme auszudrücken oder seine Berechnungen durchzuführen, aber Viète fand durch seine Untersuchungen in der Trigonometrie einen Weg, die numerische Algebra seiner Zeit an eine geometrische Umgebung anzupassen. Indem er abstrakt mit höherdimensionalen Größen arbeitete und Proportionen in Gleichungen auflöste, legte er den Grundstein für eine neue Algebra. Diese neue Algebra, die er logistice speciosa nannte, war nicht nur ein weiterer Schritt in Richtung moderner Algebra. Es war eine komplette Überholung der Grundlage der Kunst. Es inspirierte die Entwicklungen von Fermat und Descartes, die schließlich dazu führten, dass die euklidische Geometrie durch Algebra als Standardmethode zum Ausdruck wissenschaftlicher Ergebnisse ersetzt wurde.

Ein radikal neues Konzept des Polynoms und eine neue Notation dazu
Eine natürliche Folge der Verschiebung von einer arithmetischen zu einer geometrischen Grundlage ist, dass Viètes Polynome auf völlig neue Weise verstanden wurden. Wo vormoderne Polynome einfach Aggregationen der Potenzen waren, sind Viètes Polynome in dem Sinne modern, dass sie jetzt aus Operationen konstruiert werden. Vor Viète wurden die Kräfte des Unbekannten in der Algebra als verschiedene Arten von Zahlen betrachtet und erhielten individuelle Namen. Zum Beispiel nannte Xylander 1575 den unbekannten ersten Grades “numerus” und den unbekannten zweiten Grades “quadratum”, den er als “N” und “Q” abkürzte. In einem Problem schrieb er zum Beispiel “1Q + 6N + 36” für das, was unser x2 + 6x + 36 wäre. Während die Notation von Xylander modern aussehen mag, funktionieren die Buchstaben anders als unsere Potenzen von x. Das “Q” ist eine Bezeichnung oder ein Typ (wie “Euro”), und nur mit einem Koeffizienten (hier eine “1”) nimmt es einen Wert an (wie “1 Euro”). So funktionierten alle verschiedenen Algebren, die Viète vorausgingen, sowohl rhetorisch als auch in Notation.

René Descartes, dessen 1637 La Geometrie auf Viètes neuer Algebra aufbaute.

Die Notation von Viètes logistice speciosa unterscheidet sich von ihrem vormodernen Gegenstück. Viète drückte das Xylander-Polynom als “A quadratum, + B in A, + B quadrato” oder ins Englische übersetzt “A Quadrat + B (multipliziert) mit A + B Quadrat” aus. Während Viètes Notation etwas weniger symbolisch aussehen mag, waren seine Buchstaben die ersten in der Algebra, die Werte bezeichneten, also das Fehlen einer “1” vor dem “A quadratum”. Dieser Begriff repräsentiert die Größe eines Quadrats relativ zu anderen Größen. Diese Neukonzeption öffnete die Tür zu Operationen in algebraischen Ausdrücken jenseits von Polynomen, die zuvor abwesend waren.

Da Viètes Algebra in der Geometrie begründet ist, sind seine Koeffizienten notwendigerweise beliebige geometrische Größen (hier “B” und “B quadrato” anstelle von “6” und “36”). Dadurch konnte die Struktur der Lösungen in einer vereinfachten Gleichung oder Formel dargestellt werden; und weil Viètes Ziel letztendlich die numerische Berechnung war, konnte diese Formel wiederverwendet werden, indem verschiedene Bekannte ersetzt wurden, um Tabellen zu generieren.

Jenseits der dritten Dimension
Vor Oaks war die einzige ernsthafte Studie zur Ontologie von Viètes logistica speciosa ein Artikel des in Deutschland ausgebildeten Philosophen Jacob Klein aus dem Jahr 1936. Klein, der nach den Ursprüngen der modernen, axiombasierten Mathematik suchte, sah die Objekte von Viètes Algebra nicht als geometrische Größen oder als Zahlen, sondern als abstrakte Entitäten, die die beiden überschreiten. Klein’s These gewann Traktion mit seiner Übersetzung ins Englische im Jahr 1968. Obwohl nicht allgemein akzeptiert, ist es bis jetzt die einzige ernsthafte Studie der Ontologie geblieben, die Viètes Algebra zugrunde liegt.

Viètes geometrische Algebra, auf einem neuen Fundament gebaut, würde schließlich die alte vormoderne Algebra verdrängen.

Oaks zufolge ist Klein wahrscheinlich vor allem deshalb in die Irre gegangen, weil er (und auch andere Historiker) nicht bemerkt haben, dass Viète in zwei seiner Sätze mit vierdimensionalen geometrischen Größen gearbeitet hat. Kein Mathematiker vor Viète war über die dritte Dimension hinausgegangen. Viète machte diesen Sprung nicht durch einen tiefen Einblick in die Natur der Geometrie, sondern einfach, weil sie korrekte Werte liefert, wenn sie auf numerische Berechnungen angewendet wird. Wie andere unmögliche Objekte seines Jahrhunderts, wie negative und komplexe Zahlen, wurden höhere Dimensionen in der Geometrie zugelassen, weil sie sich als nützlich erwiesen.

Auswirkungen
Viètes neue geometrische Algebra würde schließlich die alte Algebra verdrängen. Sein Konzept des Polynoms wurde zusammen mit seiner neuartigen Notation in modifizierter Form in Descartes ‘La Geometrie von 1637 aufgenommen. Descartes vermutete ein intrinsisches numerisches Maß für seine Größen und führte so Zahlen wieder in die Algebra ein. Er bevorzugte auch die Kleinbuchstaben x und y, die wir heute noch verwenden, gegenüber Viètes Großbuchstaben A, E usw. Es ist die Algebra von Descartes, die zur Standardform des Ausdrucks von Mathematik, Physik und anderen Bereichen wurde und bis heute bleibt. Mit Viètes Arbeit war das, was eine praktische Technik von Kaufleuten und Landvermessern gewesen war, auf dem Weg, die Sprache der Wissenschaft zu werden.

Persönliche Antwort

Was hat Ihre Forschung zur mittelalterlichen arabischen Mathematik ursprünglich veranlasst?

Ich wusste schon als Student, dass arabische Mathematik genauso wichtig ist wie sie unterbesetzt ist. Während viele Leute arbeiten an, sagen, achtzehnten Jahrhundert Mathematik, sehr wenige lesen die arabischen Manuskripte. Ich bin derzeit einer der wenigen Menschen auf der Welt, die an arabischer Algebra arbeiten.

Was sind Ihre Pläne für die zukünftige Forschung in diesem Bereich?

Im Moment arbeite ich an einer Übersetzung und Kommentierung der Arithmetica des Diophantus von Alexandria mit einem Co-Autor, Jean Christianidis. Ich plane auch andere Studien zur arabischen Mathematik, und ich werde schließlich über Viète hinausblicken, um die Algebra des 17.

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