François Viète es considerado por muchos historiadores como el fundador del álgebra moderna, pero su trabajo no ha recibido la atención académica que merece. El profesor Jeffrey Oaks de la Universidad de Indianápolis busca corregir este desequilibrio. A través de su estudio de las matemáticas medievales y renacentistas, el profesor Oaks muestra cómo Viète restableció el álgebra sobre una base geométrica; y en el proceso creó una notación completamente nueva. Su trabajo inspiró los desarrollos de Fermat y Descartes y llevó al álgebra a convertirse en el lenguaje de la ciencia.

La palabra álgebra deriva del árabe al-jabr, que significa restauración, o la reunión de partes rotas. El álgebra se remonta a los libros árabes del siglo IX sobre el tema, y antes de eso, encontramos que se practicaba en la India, Grecia e incluso en la antigua Babilonia.

Polinomio geométrico de Viète De Recognitione Aequationum (1615), que se puede traducir a nuestra notación como A4+2B∙ A3+B2∙ A2. Entre otras diferencias, tenga en cuenta las preposiciones “in” para la multiplicación, y la falta del coeficiente “1” antes de “A quad. quad.”

El álgebra antes de 1500, ya sea en árabe, latín o italiano, se usaba predominantemente para resolver problemas numéricos por profesionales como comerciantes, secretarios de gobierno y topógrafos. Solo unos pocos matemáticos lo emplearon para más hazañas “científicas”, como Diofanto en el siglo III d.C., Omar Khayyam en el siglo XI y Jordanus de Nemore en el siglo XIII.

El álgebra comenzó a atraer la atención de matemáticos de mentalidad teórica en la Italia del siglo XVI. Matemáticos como Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia, Girolamo Cardano y Rafael Bombelli finalmente habían resuelto ecuaciones cúbicas y cuarticas irreducibles, y en el proceso, habían comenzado a explorar números negativos y complejos.

Retrato de Viète de la Histoire des Philosophes de Savérien de 1773.

François Viète
François Viète (1540-1603), un abogado francés en la corte de Enrique IV, tomó el álgebra en una dirección completamente diferente de sus predecesores. A partir de 1591, publicó una serie de tratados cortos en los que sus conocidos y desconocidos algebraicos, a los que llama “magnitudes”, poseen una dimensión sin límite, y, por primera vez, los conocidos arbitrarios se representan en notación. Es principalmente debido a sus innovaciones notacionales que ha sido acreditado por algunos historiadores como el fundador del álgebra moderna.

Un matemático incomprendido
A pesar de la importancia de Viète, y en parte debido a su propio estilo conciso y a veces confuso, su trabajo ha sido malentendido y no ha recibido la atención seria que merece. Para empezar, ¿cuáles son estas letras mayúsculas que emplea en su nuevo álgebra? Jeffrey Oaks, profesor de Matemáticas en la Universidad de Indianápolis, sin embargo, está reparando esto. Hace casi dos décadas decidió combinar sus dos intereses principales, las Matemáticas y la Historia, en el estudio de las matemáticas árabes medievales. El profesor Oaks contó con la ayuda de un colega palestino para que le enseñara árabe y se embarcó en el estudio del álgebra árabe. Sus primeros trabajos expusieron las diferencias conceptuales entre álgebra medieval y moderna, y esos estudios sentaron las bases para su trabajo posterior sobre Viète.

Polinomios premodernos
Oaks descubrió que los algebraístas antes de Viète concebían los objetos de su estudio, es decir, monomios, polinomios y ecuaciones, de manera diferente a como lo hacemos hoy en día. Un polinomio premoderno se consideraba una colección de diferentes tipos de números o potencias, sin ninguna operación presente. Donde nuestro x2 + 3x, por ejemplo, se construye a partir de las operaciones de exponenciación, multiplicación escalar y adición, el equivalente medieval ‘a māl y tres cosas’ (aquí traducido del árabe) era simplemente una colección de cuatro elementos de dos tipos, como decir ‘una manzana y tres plátanos’. Esta interpretación estaba detrás del álgebra en griego Antiguo, árabe medieval, Latín e italiano, e incluso en el álgebra de la Europa del siglo XVI.

Viète fue también el primer matemático en explorar más allá de
la tercera dimensión en geometría.

Un nuevo álgebra para geometría
Antes de Viète, los conocidos y desconocidos en álgebra eran números positivos. Viète se apartó de esta norma, pero de una manera que no se había analizado adecuadamente antes. El profesor Oaks ha revisado toda la producción de Viète, junto con una amplia gama de literatura matemática de la época, y ha determinado que las letras de Viète, que representan sus conocidos y desconocidos, representan magnitudes geométricas como líneas y superficies. Más específicamente, representan los tamaños relativos que las magnitudes geométricas tienen entre sí, sin tener en cuenta las posibles medidas numéricas. En otras palabras, Viète creó un álgebra para la geometría clásica.

Izquierda: Un polinomio del libro de Michael Stifel Arithmetica Integra (1544), que muestra la notación premoderna. Lo escribiríamos como 150x – √(4500×2) + x2. Nota: el coeficiente de “1” en el último término. Compare con la notación de la página anterior. Derecho: Portada de la traducción francesa de Vasset de 1630 de dos de las obras de Viète, que muestra Viète a la derecha.

Lo que impulsó a Viète fue su interés en producir tablas astronómicas precisas. Fue fiel a la tradición griega ejemplificada en el Almagesto de Ptolomeo (siglo II d.C.) al considerar que la geometría proporcionaba la base teórica para los cálculos en astronomía. (Incluso si las magnitudes no tienen medida numérica intrínseca, uno puede asignarles medidas numéricas. Ptolomeo no había utilizado álgebra para expresar sus teoremas o para realizar sus cálculos, pero Viète, a través de sus investigaciones en trigonometría, encontró una manera de adaptar el álgebra numérica de su tiempo a un entorno geométrico. Al trabajar de forma abstracta con magnitudes de dimensiones superiores y resolver proporciones en ecuaciones, sentó las bases para un nuevo álgebra. Este nuevo álgebra, que él llamó logistice speciosa, no fue solo un paso más hacia el álgebra moderna. Fue una revisión completa de la base misma del arte. Inspiró los desarrollos de Fermat y Descartes, que finalmente llevaron al reemplazo de la geometría euclidiana con álgebra como la forma estándar de expresar los resultados científicos.

Un concepto radicalmente nuevo de polinomio, y una nueva notación que lo acompaña
Una consecuencia natural del cambio de una base aritmética a una base geométrica es que los polinomios de Viète se entendieron de una manera completamente nueva. Donde los polinomios premodernos eran simplemente agregaciones de las potencias, los polinomios de Viète son modernos en el sentido de que ahora se construyen a partir de operaciones. Antes de Viète, los poderes de lo desconocido en álgebra se consideraban diferentes tipos de números y se les daban nombres individuales. Por ejemplo, en 1575, Xylander llamó al desconocido de primer grado “numerus” y al desconocido de segundo grado “quadratum”, que abrevió como “N” y “Q”. En un problema, por ejemplo, escribió “1Q + 6N + 36” para lo que sería nuestro x2+6x+36. Mientras que la notación de Xylander puede parecer moderna, las letras funcionan de manera diferente a nuestros poderes de x. La “Q” es una denominación o tipo (como “euro”), y solo con un coeficiente (aquí un “1”) asume un valor (como “1 euro”). Así es como funcionaban todas las álgebras anteriores a Viète, tanto retóricamente como en notación.

René Descartes, cuyo 1637 La Geometrie construyó sobre el nuevo álgebra de Viète.

La notación de logistice speciosa de Viète funciona de manera diferente a su contraparte premoderna. Viète expresó el polinomio de Xylander como “A quadratum , + B en A, + B quadrato”, o traducido al inglés ,” A cuadrado + B (multiplicado) por A + B cuadrado”. Si bien la notación de Viète puede parecer un poco menos simbólica, sus letras fueron las primeras en álgebra en denotar valores, por lo que la falta de un “1” antes de un “cuadrato”. Este término representa el tamaño de un cuadrado en relación con otras magnitudes. Esta reconcepción abrió la puerta a operaciones en expresiones algebraicas más allá de polinomios que habían estado ausentes antes.

Además, debido a que el álgebra de Viète se basa en la geometría, sus coeficientes son necesariamente magnitudes geométricas arbitrarias (aquí “B” y “B cuadrato” en lugar de “6” y “36”). Esto permitió que la estructura de las soluciones se representara en una ecuación o fórmula simplificada; y debido a que el objetivo de Viète era en última instancia el cálculo numérico, esta fórmula podría reutilizarse, sustituyendo diferentes conocidos para generar tablas.

Más allá de la tercera dimensión
Antes de Oaks, el único estudio serio de la ontología del logistice speciosa de Viète fue un artículo de 1936 del filósofo alemán Jacob Klein. Klein, en busca de los orígenes de las matemáticas modernas basadas en axiomas, vio los objetos del álgebra de Viète no como magnitudes geométricas, ni como números, sino como entidades abstractas que trascienden los dos. La tesis de Klein ganó fuerza con su traducción al inglés en 1968. Aunque no es universalmente aceptado, ha permanecido hasta ahora el único estudio serio de la ontología que subyace al álgebra de Viète.

El álgebra geométrica de Viète, construido sobre una nueva base, eventualmente derrocaría al antiguo álgebra premoderna.

Según Oaks, Klein probablemente se extravió en gran parte porque él (y otros historiadores también) no notaron que Viète trabajó con magnitudes geométricas de cuatro dimensiones en dos de sus proposiciones. Ningún matemático antes de Viète había ido más allá de la tercera dimensión. Viète dio este salto, no por una profunda comprensión de la naturaleza de la geometría, sino simplemente porque da valores correctos cuando se aplica al cálculo numérico. Al igual que otros objetos imposibles de su siglo, como los números negativos y complejos, se admitieron dimensiones superiores en geometría porque demostraron ser útiles.

Impact
El nuevo álgebra geométrica de Viète eventualmente derrocaría al álgebra antigua. Su concepto de polinomio, junto con su notación de novela, se retomó en forma modificada en La Geometrie de Descartes de 1637. Descartes presumió una medida numérica intrínseca para sus magnitudes, y por lo tanto reintrodujo números al álgebra. También prefería las minúsculas x e y, que todavía usamos hoy en día, a la mayúscula de Viète, E, etc. Es el álgebra de Descartes que se convirtió, y sigue siendo hoy en día, el modo estándar de expresar matemáticas, física y otros campos. Con el trabajo de Viète, lo que había sido una técnica práctica de comerciantes y agrimensores estaba en camino de convertirse en el lenguaje de la ciencia.

Respuesta personal

¿Qué impulsó inicialmente su investigación en matemáticas árabes medievales?

Sabía incluso como estudiante de pregrado que las matemáticas árabes son tan importantes como poco estudiadas. Mientras que muchas personas están trabajando, digamos, en matemáticas del siglo XVIII, muy pocas leen los manuscritos árabes. Actualmente soy una de las pocas personas en el mundo que trabaja en álgebra árabe.

¿Cuáles son sus planes para futuras investigaciones en esta área?

En este momento, estoy trabajando en una traducción y comentario de la Aritmética de Diofanto de Alejandría con un coautor, Jean Christianidis. También estoy planeando otros estudios sobre matemáticas árabes, y eventualmente miraré más allá de Viète para investigar el álgebra de Europa del siglo XVII.

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