François Viète est considéré par de nombreux historiens comme le fondateur de l’algèbre moderne, mais son travail n’a pas reçu l’attention académique qu’il mérite. Le professeur Jeffrey Oaks de l’Université d’Indianapolis cherche à corriger ce déséquilibre. À travers son étude des mathématiques médiévales et de la Renaissance, le professeur Oaks montre comment Viète a rétabli l’algèbre sur une base géométrique; et dans le processus a créé une notation entièrement nouvelle. Son travail a inspiré les développements de Fermat et Descartes et a conduit à l’algèbre devenant le langage de la science.

Le mot algèbre dérive de l’arabe al-jabr, qui signifie restauration, ou réunion de parties brisées. L’algèbre remonte aux livres arabes du IXe siècle de notre ère sur le sujet, et avant cela, nous constatons qu’elle était pratiquée en Inde, en Grèce et même dans l’ancienne Babylonie.

Un polynôme géométrique tiré du De Recognitione Aequationum De Viète (1615), qui peut être traduit dans notre notation par A4 + 2B∙ A3 + B2∙ A2. Entre autres différences, notons les prépositions “in” pour la multiplication, et l’absence du coefficient “1” avant le “A quad. Quad.”

L’algèbre avant 1500, qu’elle soit en arabe, en latin ou en italien, était principalement utilisée pour la résolution de problèmes numériques par des praticiens tels que les marchands, les secrétaires du gouvernement et les arpenteurs. Seuls quelques mathématiciens l’ont utilisé pour des exploits plus “scientifiques”, tels que Diophante au 3ème siècle de notre ère, Omar Khayyam au 11ème siècle et Jordanus de Nemore au 13ème siècle.

L’algèbre a commencé à attirer l’attention des mathématiciens à l’esprit théorique dans l’Italie du XVIe siècle. Des mathématiciens tels que Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia, Girolamo Cardano et Rafael Bombelli avaient finalement résolu des équations cubiques et quartiques irréductibles, et dans le processus, ils avaient commencé à explorer les nombres négatifs et complexes.

Portrait de Viète tiré de l’Histoire des Philosophes de Savérien de 1773.

François Viète
François Viète (1540 -1603), avocat français à la cour d’Henri IV, prit l’algèbre dans une direction complètement différente de ses prédécesseurs. À partir de 1591, il publie une série de courts traités dans lesquels ses connaissances et inconnues algébriques, qu’il appelle “grandeurs”, possèdent une dimension sans limite et, pour la première fois, des connaissances arbitraires sont représentées en notation. C’est principalement à cause de ses innovations notationnelles qu’il a été crédité par certains historiens comme étant le fondateur de l’algèbre moderne.

Un mathématicien incompris
Malgré l’importance de Viète, et en partie en raison de son propre style laconique et parfois confus, son travail a été mal compris et n’a pas reçu l’attention sérieuse qu’il mérite. Pour commencer, quelles sont ces lettres majuscules qu’il emploie dans sa nouvelle algèbre? Jeffrey Oaks, professeur de mathématiques à l’Université d’Indianapolis, corrige cependant ce problème. Il y a près de deux décennies, il a décidé de combiner ses deux intérêts principaux, les mathématiques et l’Histoire, dans l’étude des mathématiques arabes médiévales. Le professeur Oaks a fait appel à un collègue palestinien pour lui apprendre l’arabe et s’est lancé dans l’étude de l’algèbre arabe. Ses premiers travaux ont exposé les différences conceptuelles entre l’algèbre médiévale et moderne, et ces études ont jeté les bases de ses travaux ultérieurs sur Viète.

Polynômes prémodernes
Oaks a découvert que les algébristes avant Viète concevaient les objets de leur étude, c’est-à-dire les monômes, les polynômes et les équations, différemment de ce que nous faisons aujourd’hui. Un polynôme prémoderne était considéré comme une collection de différents types de nombres ou de puissances, sans aucune opération présente. Là où notre x2 + 3x, par exemple, est construit à partir des opérations d’exponentiation, de multiplication scalaire et d’addition, l’équivalent médiéval “un māl et trois choses” (ici traduit de l’arabe) était simplement une collection de quatre éléments de deux sortes, comme dire “une pomme et trois bananes”. Cette interprétation se trouvait derrière l’algèbre en Grec ancien, en Arabe médiéval, en Latin et en Italien, et même dans l’algèbre de l’Europe du XVIe siècle.

Viète fut également le premier mathématicien à explorer au-delà de
la troisième dimension en géométrie.

Une nouvelle algèbre pour la géométrie
Avant Viète, les nombres connus et inconnus en algèbre étaient des nombres positifs. Viète divergeait de cette norme, mais d’une manière qui n’avait pas été correctement analysée auparavant. Le professeur Oaks a passé en revue l’ensemble de la production de Viète, ainsi qu’un vaste éventail de littérature mathématique de l’époque, et a déterminé que les lettres de Viète, représentant ses connaissances et ses inconnues, représentent plutôt des grandeurs géométriques telles que des lignes et des surfaces. Plus précisément, ils représentent les tailles relatives des grandeurs géométriques les unes par rapport aux autres, sans tenir compte des mesures numériques possibles. En d’autres termes, Viète a créé une algèbre pour la géométrie classique.

Gauche : Un polynôme tiré du livre Arithmetica Integra de Michael Stifel (1544), montrant une notation prémoderne. Nous l’écririons comme 150x-√ (4500×2) + x2. Notez le coefficient de “1” sur le dernier terme. Comparez avec la notation de la page précédente. Droit: Page de titre de la traduction française de Vasset de 1630 de deux œuvres de Viète, montrant Viète à droite.

Ce qui motive Viète, c’est son intérêt pour la production de tables astronomiques précises. Il était fidèle à la tradition grecque illustrée dans l’Almageste de Ptolémée (IIe siècle de notre ère) en considérant la géométrie comme la base théorique des calculs en astronomie. (Même si les grandeurs n’ont pas de mesure numérique intrinsèque, on peut leur attribuer des mesures numériques.) Ptolémée n’avait pas utilisé l’algèbre pour exprimer ses théorèmes ou pour effectuer ses calculs, mais Viète, à travers ses recherches en trigonométrie, a trouvé un moyen d’adapter l’algèbre numérique de son temps à un cadre géométrique. En travaillant de manière abstraite avec des grandeurs de dimensions supérieures et en résolvant des proportions en équations, il a jeté les bases d’une nouvelle algèbre. Cette nouvelle algèbre, qu’il a appelée logistice speciosa, n’était pas seulement un pas de plus vers l’algèbre moderne. C’était une refonte complète du fondement même de l’art. Il a inspiré les développements de Fermat et Descartes, qui ont finalement conduit au remplacement de la géométrie euclidienne par l’algèbre comme moyen standard d’exprimer les résultats scientifiques.

Un concept radicalement nouveau de polynôme, et une nouvelle notation pour l’accompagner
Une conséquence naturelle du passage d’une base arithmétique à une base géométrique est que les polynômes de Viète ont été compris d’une manière entièrement nouvelle. Là où les polynômes prémodernes n’étaient que des agrégations de puissances, les polynômes de Viète sont modernes en ce sens qu’ils sont maintenant construits à partir d’opérations. Avant Viète, les puissances de l’inconnu en algèbre étaient considérées comme différents types de nombres et recevaient des noms individuels. Par exemple, en 1575, Xylandre a appelé le “numerus” inconnu au premier degré et le “quadratum” inconnu au second degré, qu’il a abrégé en “N” et “Q”. Dans un problème, par exemple, il a écrit “1Q + 6N + 36” pour ce qui serait notre x2 + 6x + 36. Alors que la notation de Xylander peut sembler moderne, les lettres fonctionnent différemment de nos puissances de x. Le “Q” est une dénomination ou un type (comme “euro”), et ce n’est qu’avec un coefficient (ici un “1”) qu’il prend une valeur (comme “1 euro”). C’est ainsi que fonctionnaient toutes les différentes algèbres précédant Viète, tant sur le plan rhétorique qu’en notation.

René Descartes, dont La Géométrie de 1637 s’appuie sur la nouvelle algèbre de Viète.

La notation du logistice speciosa de Viète fonctionne différemment de son homologue prémoderne. Viète a exprimé le polynôme de Xylandre comme “A quadratum, +B dans A, + B quadrato”, ou traduit en anglais, “A squared + B (multiplié) par A + B squared”. Alors que la notation de Viète peut sembler un peu moins symbolique, ses lettres ont été les premières en algèbre à désigner des valeurs, d’où l’absence d’un “1” avant le “A quadratum”. Ce terme représente la taille d’un carré par rapport aux autres grandeurs. Cette reconception a ouvert la porte à des opérations dans des expressions algébriques au-delà des polynômes qui étaient absents auparavant.

De plus, parce que l’algèbre de Viète est fondée sur la géométrie, ses coefficients sont nécessairement des grandeurs géométriques arbitraires (ici “B” et “B quadrato” au lieu de “6” et “36”). Cela a permis de représenter la structure des solutions dans une équation simplifiée, ou formule; et comme le but de Viète était finalement le calcul numérique, cette formule a pu être réutilisée, en substituant différentes connaissances pour générer des tables.

Au-delà de la troisième dimension
Avant Oaks, la seule étude sérieuse de l’ontologie du logistice speciosa de Viète était un article de 1936 du philosophe de formation allemande Jacob Klein. Klein, à la recherche des origines des mathématiques modernes basées sur les axiomes, voyait les objets de l’algèbre de Viète non pas comme des grandeurs géométriques, ni comme des nombres, mais comme des entités abstraites qui transcendent les deux. La thèse de Klein a gagné du terrain avec sa traduction en anglais en 1968. Bien qu’elle ne soit pas universellement acceptée, elle est restée jusqu’à présent la seule étude sérieuse de l’ontologie sous-jacente à l’algèbre de Viète.

L’algèbre géométrique de Viète, construite sur une nouvelle base, finira par évincer l’ancienne algèbre prémoderne.

Selon Oaks, Klein s’est probablement égaré en grande partie parce qu’il (et d’autres historiens également) n’a pas remarqué que Viète travaillait avec des grandeurs géométriques à quatre dimensions dans deux de ses propositions. Aucun mathématicien avant Viète n’avait dépassé la troisième dimension. Viète a fait ce saut, non pas par une connaissance approfondie de la nature de la géométrie, mais simplement parce qu’elle donne des valeurs correctes lorsqu’elle est appliquée au calcul numérique. Comme d’autres objets impossibles de son siècle, tels que les nombres négatifs et complexes, des dimensions plus élevées en géométrie ont été admises car elles se sont révélées utiles.

Impact
La nouvelle algèbre géométrique de Viète finirait par évincer l’ancienne algèbre. Son concept de polynôme, ainsi que sa nouvelle notation, ont été repris sous une forme modifiée dans La Géométrie de Descartes en 1637. Descartes supposait une mesure numérique intrinsèque de ses grandeurs, et réintroduisait ainsi les nombres à l’algèbre. Il préférait également les minuscules x et y, que nous utilisons encore aujourd’hui, aux majuscules A, E, etc. de Viète. C’est l’algèbre de Descartes qui est devenue, et reste aujourd’hui, le mode standard d’expression des mathématiques, de la physique et d’autres domaines. Avec l’œuvre de Viète, ce qui avait été une technique pratique des marchands et des arpenteurs était en passe de devenir le langage de la science.

Réponse personnelle

Qu’est-ce qui a d’abord incité vos recherches sur les mathématiques arabes médiévales?

Je savais même en tant qu’étudiant de premier cycle que les mathématiques arabes sont aussi importantes qu’elles sont sous-étudiées. Alors que beaucoup de gens travaillent sur, disons, les mathématiques du XVIIIe siècle, très peu lisent les manuscrits arabes. Je suis actuellement l’une des rares personnes au monde à travailler sur l’algèbre arabe.

Quels sont vos plans pour de futures recherches dans ce domaine?

En ce moment, je travaille sur une traduction et un commentaire de l’Arithmétique de Diophante d’Alexandrie avec un co-auteur, Jean Christianidis. Je prévois également d’autres études sur les mathématiques arabes, et je vais éventuellement regarder au-delà de Viète pour étudier l’algèbre de l’Europe du 17ème siècle.

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