François Viète è considerato da molti storici come il fondatore della moderna algebra, ma il suo lavoro non ha ricevuto l’attenzione accademica che merita. Il professor Jeffrey Oaks dell’Università di Indianapolis cerca di rimediare a questo squilibrio. Attraverso il suo studio della matematica medievale e rinascimentale, il Professor Oaks mostra come Viète ristabilito algebra su una base geometrica; e nel processo creato una notazione completamente nuova. Il suo lavoro ha ispirato Fermat e Cartesio’ sviluppi e ha portato a algebra diventando il linguaggio della scienza.

La parola algebra deriva dall’arabo al-jabr, che significa restauro, o la riunione di parti rotte. Algebra può essere fatta risalire al nono secolo CE libri arabi sul tema, e prima di questo, troviamo che è stato praticato in India, Grecia, e anche antica Babilonia.

Un polinomio geometrico dal De Recognitione Aequationum di Viète (1615), che può essere tradotto nella nostra notazione come A4+2B∙ A3+B2∙ A2. Tra le altre differenze, notare le preposizioni ” in “per la moltiplicazione e la mancanza del coefficiente “1”prima di” A quad. quad.”

Algebra prima del 1500, sia in arabo, latino, o italiano, è stato utilizzato prevalentemente per numerico problem-solving da professionisti come i commercianti, segretari di governo e geometri. Solo pochi matematici impiegato per più’ scientifico ‘ exploit, come Diofanto nel 3 ° secolo DC, Omar Khayyam nel 11 ° secolo, e Jordanus de Nemore nel 13 ° secolo.

L’algebra cominciò ad attirare l’attenzione dei matematici teorici nell’Italia del XVI secolo. Matematici come Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia, Girolamo Cardano e Rafael Bombelli avevano finalmente risolto irriducibili equazioni cubiche e quartiche, e nel processo, avevano iniziato ad esplorare numeri negativi e complessi.

Ritratto di Viète dall’Histoire des Philosophes di Savérien del 1773.

François Viète
François Viète (1540 -1603), un avvocato francese presso la corte di Enrico IV, ha preso algebra in una direzione completamente diversa dai suoi predecessori. A partire dal 1591, ha pubblicato una serie di brevi trattati in cui la sua algebrica knowns e incognite, che egli chiama ‘grandezze’, possiedono dimensione senza limiti, e, per la prima volta, arbitraria knowns sono rappresentati in notazione. E ‘ principalmente a causa della sua notational innovazioni che egli è stato accreditato da alcuni storici come il fondatore della moderna algebra.

Un matematico incompreso
Nonostante l’importanza di Viète, e in parte a causa del suo stile conciso e talvolta confuso, il suo lavoro è stato frainteso e non ha ricevuto la seria attenzione che merita. Per cominciare, quali sono queste lettere maiuscole che impiega nella sua nuova algebra? Jeffrey Oaks, professore di matematica presso l’Università di Indianapolis, tuttavia, sta correggendo questo. Quasi due decenni fa ha deciso di unire i suoi due interessi principali, Matematica e Storia, nello studio della matematica araba medievale. Il professor Oaks ha arruolato l’aiuto di un collega palestinese per insegnargli l’arabo e ha intrapreso lo studio dell’algebra araba. I suoi primi lavori hanno esposto le differenze concettuali tra algebra medievale e moderna, e quegli studi hanno posto le basi per il suo lavoro successivo su Viète.

Polinomi premoderni
Oaks scoprì che gli algebristi prima di Viète concepivano gli oggetti del loro studio, cioè monomi, polinomi ed equazioni, in modo diverso da quello che facciamo oggi. Un polinomio premoderno era considerato un insieme di diversi tipi di numeri o potenze, senza alcuna operazione presente. Dove il nostro x2 + 3x, ad esempio, è costruito dalle operazioni di esponenziazione, moltiplicazione scalare e addizione, l’equivalente medievale ‘a māl e tre cose’ (qui tradotto dall’arabo) era semplicemente una raccolta di quattro oggetti di due tipi, come dire ‘una mela e tre banane’. Questa interpretazione giaceva dietro l’algebra in greco antico, medievale arabo, latino, e italiano, e anche in algebra del XVI secolo in Europa.

Viète fu anche il primo matematico ad esplorare oltre
la terza dimensione della geometria.

Una nuova algebra per la geometria
Prima di Viète, le note e le incognite in algebra erano numeri positivi. Viète divergeva da questa norma, ma in un modo che non era stato adeguatamente analizzato prima. Il professor Oaks ha esaminato l’intera produzione di Viète, insieme a una vasta gamma di letteratura matematica del periodo, e ha stabilito che le lettere di Viète, in piedi per le sue note e incognite, rappresentano invece grandezze geometriche come linee e superfici. Più specificamente, rappresentano le dimensioni relative che le grandezze geometriche hanno l’una rispetto all’altra, senza alcun riguardo alle possibili misure numeriche. In altre parole, Viète ha creato un’algebra per la geometria classica.

A sinistra: Un polinomio dal libro di Michael Stifel Arithmetica Integra (1544), mostrando la notazione premoderna. Lo scriveremmo come 150x – √(4500×2) + x2. Notare il coefficiente di ” 1 ” sull’ultimo termine. Confronta con la notazione nella pagina precedente. Diritto: Frontespizio alla traduzione francese di Vasset del 1630 di due delle opere di Viète, mostrando Viète a destra.

Ciò che spinse Viète fu il suo interesse a produrre tavole astronomiche accurate. Egli è stato fedele alla tradizione greca esemplificato in Tolomeo Almagesto (2 ° secolo CE) per quanto riguarda la geometria come fornire il fondamento teorico per i calcoli in astronomia. (Anche se le grandezze non hanno una misura numerica intrinseca, si possono assegnare loro misure numeriche. Tolomeo non aveva usato l’algebra per esprimere i suoi teoremi o per eseguire i suoi calcoli, ma Viète, attraverso le sue indagini in trigonometria, ha trovato un modo per adattare l’algebra numerica del suo tempo ad un ambiente geometrico. Lavorando astrattamente con grandezze dimensionali superiori e risolvendo le proporzioni in equazioni, pose le basi per una nuova algebra. Questa nuova algebra, che ha chiamato logistice speciosa, non era solo un altro passo verso l’algebra moderna. Era una revisione completa del fondamento stesso dell’arte. Ha ispirato Fermat e Cartesio’ sviluppi, che alla fine ha portato alla sostituzione della geometria euclidea con algebra come il modo standard per esprimere i risultati scientifici.

Un concetto radicalmente nuovo di polinomio, e una nuova notazione per andare con esso
Una conseguenza naturale del passaggio da una base aritmetica a una base geometrica è che i polinomi di Viète sono stati compresi in un modo completamente nuovo. Dove i polinomi premoderni erano semplicemente aggregazioni delle potenze, i polinomi di Viète sono moderni nel senso che ora sono costruiti da operazioni. Prima di Viète, i poteri dell’ignoto in algebra erano considerati diversi tipi di numeri e ricevevano nomi individuali. Ad esempio, nel 1575, Xylander chiamò il primo grado sconosciuto “numerus” e il secondo grado sconosciuto “quadratum”, che abbreviò con “N” e “Q”. In un problema, ad esempio, ha scritto “1Q+6N+36” per quello che sarebbe il nostro x2+6x+36. Mentre la notazione di Xylander può sembrare moderna, le lettere funzionano in modo diverso rispetto ai nostri poteri di x. La “Q” è una denominazione o un tipo (come “euro”), e solo con un coefficiente (qui un “1”) assume un valore (come “1 euro”). Questo è il modo in cui tutte le varie algebre che precedono Viète funzionavano, sia retoricamente che in notazione.

René Descartes, il cui 1637 La Geometrie costruito sulla nuova algebra di Viète.

La notazione del logistice speciosa di Viète funziona in modo diverso dalla sua controparte premoderna. Viète espresse il polinomio di Xylander come “A quadratum, + B in A, + B quadrato”, o tradotto in inglese,”A squared + B (moltiplicato) per A + B squared”. Mentre la notazione di Viète può sembrare un po ‘ meno simbolica, le sue lettere sono state le prime in algebra a denotare valori, quindi la mancanza di un “1” prima di “Un quadratum”. Questo termine rappresenta la dimensione di un quadrato rispetto ad altre grandezze. Questa riconciliazione ha aperto la porta alle operazioni in espressioni algebriche oltre i polinomi che erano stati assenti prima.

Inoltre, poiché l’algebra di Viète è fondata in geometria, i suoi coefficienti sono necessariamente grandezze geometriche arbitrarie (qui “B” e “B quadrato” invece di “6” e “36”). Ciò ha permesso alla struttura delle soluzioni di essere raffigurata in un’equazione semplificata, o formula; e poiché l’obiettivo di Viète era in ultima analisi il calcolo numerico, questa formula poteva essere riutilizzata, sostituendo diverse conoscenze per generare tabelle.

Oltre la terza dimensione
Prima di Oaks, l’unico studio serio sull’ontologia del logistice speciosa di Viète fu un articolo del 1936 del filosofo tedesco Jacob Klein. Klein, alla ricerca delle origini della matematica moderna basata sugli assiomi, vedeva gli oggetti dell’algebra di Viète non come grandezze geometriche, né come numeri, ma come entità astratte che trascendono i due. La tesi di Klein ha guadagnato la trazione con la sua traduzione in inglese nel 1968. Anche se non universalmente accettato, è rimasto fino ad ora l’unico serio studio dell’ontologia alla base dell’algebra di Viète.

L’algebra geometrica di Viète, costruita su una nuova base, alla fine avrebbe spodestato la vecchia algebra premoderna.

Secondo Oaks, Klein probabilmente è andato fuori strada in gran parte perché lui (e altri storici pure) non è riuscito a notare che Viète lavorato con grandezze geometriche a quattro dimensioni in due delle sue proposizioni. Nessun matematico prima di Viète era andato oltre la terza dimensione. Viète fatto questo salto, non da qualche profonda comprensione della natura della geometria, ma semplicemente perché dà valori corretti quando applicato al calcolo numerico. Come altri oggetti impossibili del suo secolo, come i numeri negativi e complessi, dimensioni superiori in geometria sono stati ammessi perché hanno dimostrato di essere utile.

Impatto
La nuova algebra geometrica di Viète alla fine avrebbe spodestato la vecchia algebra. Il suo concetto di polinomio, insieme con il suo romanzo notazione, è stato ripreso in forma modificata in Cartesio ‘ 1637 La Geometrie. Cartesio presumeva una misura numerica intrinseca per le sue grandezze, e quindi reintrodusse i numeri all’algebra. Preferì anche le minuscole x e y, che usiamo ancora oggi, alla A maiuscola di Viète, E, ecc. È l’algebra di Cartesio che divenne, e rimane oggi, la modalità standard di esprimere matematica, fisica e altri campi. Con il lavoro di Viète, quella che era stata una tecnica pratica di mercanti e geometri stava per diventare il linguaggio della scienza.

Risposta personale

Cosa ha inizialmente spinto la tua ricerca sulla matematica araba medievale?

Sapevo anche come studente universitario che la matematica araba è tanto importante quanto è sottovalutata. Mentre molte persone stanno lavorando su, diciamo, la matematica del XVIII secolo, pochissimi stanno leggendo i manoscritti arabi. Attualmente sono una delle poche persone al mondo che lavorano sull’algebra araba.

Quali sono i vostri piani per la ricerca futura in questo settore?

Attualmente sto lavorando a una traduzione e commento dell’Arithmetica di Diofanto di Alessandria con un coautore, Jean Christianidis. Sto anche progettando altri studi sulla matematica araba, e alla fine guarderò oltre Viète per indagare l’algebra del 17 ° c. Europa.

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