François Vièteは、多くの歴史家によって現代代数の創始者であると考えられていますが、彼の作品はそれに値する学術的な注目を受けていません。 インディアナポリス大学のJeffrey Oaks教授は、この不均衡を是正しようとしています。 中世とルネサンスの数学の彼の研究を通じて、教授オークスは、ヴィエートは幾何学的基盤の上に代数を再確立する方法を示し、その過程で全く新しい記法を作成しました。 彼の作品はフェルマーとデカルトの発展に影響を与え、代数が科学の言語になることにつながった。

代数という言葉は、修復、または壊れた部分の再会を意味するアラビア語のal-jabrに由来しています。 代数は、トピックに関する九世紀CEアラビア語の本にさかのぼることができ、その前に、我々はそれがインド、ギリシャ、さらには古代バビロニアで実践され

Viète’S De Recognitieaequationum(1615)からの幾何学的多項式であり、a4+2B≤A3+B2≤A2として表記することができます。 他の違いの中でも、乗算のための前置詞”in”と、”a quad”の前の係数”1″の欠如に注意してください。 クワッド”

1500年以前の代数は、アラビア語、ラテン語、イタリア語のいずれであっても、商人、政府秘書、測量士などの実務家によって数値問題解決のために主に使用されていた。 3世紀のディオファントス、11世紀のオマール-ハイヤム、13世紀のジョルダヌス-デ-ネモレなど、より”科学的”な悪用のためにそれを採用した数人の数学者だけがそれを採用した。

代数は、16世紀のイタリアで理論的志向の数学者の注目を集め始めました。 Scipione del Ferro、Niccolò Tartaglia、Girolamo Cardano、Rafael Bombelliなどの数学者は、最終的に既約の3次方程式と4次方程式を解き、その過程で負数と複素数を探求し始めました。

サヴェリアンの1773年の哲学史からヴィエートの肖像画。

François Viète
François Viète(1540-1603)、アンリ4世の裁判所のフランスの弁護士は、彼の前任者とは全く異なる方向に代数を取った。 1591年に始まって、彼は彼が”大きさ”と呼ぶ彼の代数的な知識と未知数は、制限なしの次元を持っており、初めて、任意の知識が表記法で表されている短い論文のシリーズを発表した。 彼が現代代数の創始者であるといくつかの歴史家によって信じられてきたのは、主に彼の表記上の革新のためです。

誤解された数学者
ヴィエーテの重要性にもかかわらず、部分的には彼自身の簡潔で時には混乱するスタイルのために、彼の作品は誤解されており、それが保証する深刻な注目を受けていない。 まず第一に、彼は彼の新しい代数で採用しているこれらの大文字は何ですか? ジェフリーオークス、インディアナポリス大学の数学の教授は、しかし、これを是正しています。 ほぼ二十年前、彼は中世のアラビア語の数学の研究で、彼の二つの主要な関心、数学と歴史を組み合わせることにしました。 オークス教授はパレスチナ人の同僚の助けを借りてアラビア語を教え、アラビア語代数の研究に着手した。 彼の初期の作品は、中世と現代の代数の間の概念的な違いを露出し、これらの研究は、ヴィエート上の彼の後の仕事のための基礎を築いた。

前近代の多項式
オークスは、ヴィエーテが研究の対象、すなわち単項式、多項式、方程式を考案する前の代数学者が、今日とは異なることを発見しました。 前近代の多項式は、異なる種類の数またはべき乗の集合であり、操作は存在しないと考えられていました。 たとえば、x2+3xがべき乗、スカラー乗法、加算の演算から構成されている場合、中世の同等の”a māl and three things”(ここではアラビア語から翻訳)は、単に”リンゴと三バナナ”と言ったように、二種類の四つの項目の集まりであった。 この解釈は、古代ギリシャ語、中世アラビア語、ラテン語、イタリア語の代数の背後にあり、さらには十六世紀のヨーロッパの代数にもあります。

Vièteはまた、幾何学における
の第三次元を超えて探求した最初の数学者でもありました。

幾何学のための新しい代数
Viète以前は、代数のknownsとunknownsは正の数でした。 ヴィエーテはこの規範から逸脱したが、以前は適切に分析されていなかった方法であった。 オークス教授は、期間からの数学的文献の広範な範囲と一緒に、Vièteの出力の全体を検討しており、彼のknownsとunknownsのために立って、Vièteの手紙は、代わりに線や面などの幾何学的な大きさを表していることを決定しました。 より具体的には、それらは、可能な数値的尺度に関係なく、幾何学的な大きさが互いに関連して有する相対的な大きさを表す。 言い換えれば、Vièteは古典幾何学の代数を作成しました。

左:Michael Stifelの著書Arithmetica Integra(1544)からの多項式で、前近代の表記法を示しています。 私たちはそれを150x-√(4500×2)+x2と書くでしょう。 最後の項の”1″の係数に注意してください。 前のページの表記と比較してください。 右: ヴィエートの作品の二つのヴァセの1630年のフランス語翻訳へのタイトルページ、右側にヴィエートを示しています。

ヴィエーテを動かしたのは、正確な天文表の作成に興味を持っていたことでした。 彼はプトレマイオスのAlmagest(2世紀CE)で例示されたギリシャの伝統に忠実であった天文学の計算のための理論的な足場を提供するものとして幾何学を (大きさに固有の数値測度がない場合でも、それらに数値測度を割り当てることができます。)プトレマイオスは、彼の定理を表現したり、彼の計算を実行するために代数を使用していなかったが、vièteは、三角法で彼の調査を通じて、幾何学的な設定に彼の時間の数値代数を適応させる方法を発見した。 より高い次元の大きさを抽象的に作業することによって、方程式に比率を解決することによって、彼は新しい代数の基礎を築いた。 彼はlogistice speciosaと呼ばれるこの新しい代数は、現代の代数に向けた単なる別のステップではありませんでした。 それは芸術の基礎そのものの完全な見直しでした。 これはフェルマーとデカルトの発展に影響を与え、最終的にはユークリッド幾何学を科学的結果を表現する標準的な方法として代数に置き換えることにつながった。

根本的に新しい多項式の概念、そしてそれに伴う新しい表記法
算術から幾何学的基礎へのシフトの一つの自然な結果は、ヴィエートの多項式が全く新しい方法で理解されたということです。 前近代の多項式は単に力の集合であったが、ヴィエートの多項式は現在の演算から構築されているという意味で現代的である。 Vièteの前に、代数における未知の力は異なるタイプの数であると考えられ、個々の名前が与えられました。 例えば、1575年に、キシランダーは第一次未知の”numerus”と第二次未知の”quadratum”と呼ばれ、”N”と”Q”と略された。 ある問題では、例えば、彼は私たちのx2+6x+36になるもののために”1Q+6N+36″を書きました。 Xylanderの表記法は現代的に見えるかもしれませんが、文字はxのべき乗とは異なり機能します。”Q”は金種またはタイプ(”euro”のような)であり、係数(ここでは”1″)のみが値(”1euro”のような)を想定しています。 これは、Vièteに先行するすべてのさまざまな代数が修辞的にも表記法的にも機能した方法です。

ルネ-デカルト(René Descartes、1637年-)は、1637年にヴィエートの新しい代数を基礎とした数学者である。

ヴィエートのlogistice speciosaの表記法は、前近代の対応物とは異なります。 VièteはXylanderの多項式を「a quadratum,+b in a,+B quadrato」と表現し、または英語に翻訳して「a squared+B(乗算)by A+B squared」と表現しました。 ヴィエートの表記法は少し象徴的ではないかもしれないが、彼の手紙は代数学で最初に値を表すものであり、”a quadratum”の前に”1″が欠けていた。 この用語は、他の大きさに対する正方形の大きさを表します。 このリコンセプションは、以前に存在しなかった多項式を超えた代数式の操作への扉を開いた。

さらに、ヴィエートの代数は幾何学に基づいているため、彼の係数は必然的に任意の幾何学的大きさ(ここでは”6″と”36″の代わりに”B”と”B quadrato”)である。 これにより、解の構造を単純化された方程式、または式で描写することができ、ヴィエートの目標は最終的に数値計算であったため、この式は再利用され、異なるknownsを代入してテーブルを生成することができた。

第三次元を超えて
オークス以前、ヴィエートのlogistice speciosaのオントロジーの唯一の深刻な研究は、ドイツの訓練を受けた哲学者Jacob Kleinによる1936年の記事でした。 クラインは、現代の公理に基づく数学の起源を探して、ヴィエーテの代数の対象を幾何学的な大きさや数ではなく、2つを超越する抽象的な実体として見た。 クラインの論文は、1968年に英語への翻訳で牽引力を得ました。 普遍的に受け入れられていないが、それは今までヴィエートの代数の基礎となるオントロジーの唯一の深刻な研究に残っています。

新しい基盤の上に構築されたVièteの幾何学的代数は、最終的に古い前近代代数を失脚させることになる。

オークスによると、クラインはおそらく彼(および他の歴史家も)がヴィエートが彼の命題のうちの二つで四次元幾何学的な大きさで働いていたことに気付かなかったために道に迷ったと思われる。 ヴィエーテの前には数学者は第三次元を超えていなかった。 Vièteは、幾何学の性質についての深い洞察によってではなく、数値計算に適用すると正しい値を与えるという理由だけで、この飛躍を遂げました。 負の数や複素数のような彼の世紀の他の不可能な対象と同様に、幾何学のより高い次元は有用であることが証明されたので認められた。

インパクト
ヴィエートの新しい幾何学的代数は、最終的に古い代数を失脚させるだろう。 彼の多項式の概念は、彼の小説記法とともに、デカルトの1637年のLa Geometrieで修正された形で取り上げられました。 デカルトは彼の大きさのための固有の数値測度を推定し、したがって代数に数を再導入した。 彼はまた、Vièteの首都A、Eなどに、私たちが今日でも使用している小文字のxとyを好みました。 それは、数学、物理学、および他の分野を表現する標準的なモードになり、今日残っているデカルトの代数です。 ヴィエーテの仕事では、商人や測量士の実用的な技術であったものは、科学の言語になるための道を進んでいました。

個人的な反応

中世アラビア数学の研究を最初に促したのは何ですか?

私は学部生としても、アラビア数学は過小評価されているほど重要であることを知っていました。 多くの人々が18世紀の数学に取り組んでいますが、アラビア語の写本を読んでいる人はほとんどいません。 私は現在、アラビア語代数に取り組んでいる世界で数少ない人の一人です。

この分野での今後の研究の計画は何ですか?

現時点では、共著者であるJean Christianidisと一緒に、アレクサンドリアのDiophantusのArithmeticaの翻訳と解説に取り組んでいます。 私はまた、アラビア語の数学の他の研究を計画しています,そして私は最終的に17世紀の代数を調査するためにVièteを超えて見ていきます.ヨーロッパ.

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