François Viète wordt door veel historici beschouwd als de grondlegger van de moderne algebra, maar zijn werk heeft niet de academische aandacht gekregen die het verdient. Professor Jeffrey Oaks van de Universiteit van Indianapolis probeert deze onevenwichtigheid te herstellen. Door zijn studie van de Middeleeuwse en Renaissance wiskunde laat Professor Oaks zien hoe Viète de algebra op een meetkundige basis herstelde en daarbij een geheel nieuwe notatie creëerde. Zijn werk inspireerde de ontwikkelingen van Fermat en Descartes en leidde ertoe dat algebra de taal van de wetenschap werd.

het woord algebra is afgeleid van het Arabische al-jabr, wat herstel betekent, of de hereniging van gebroken delen. Algebra kan worden teruggevoerd op de negende eeuw CE Arabische boeken over het onderwerp, en voorafgaand aan dat, vinden we dat het werd beoefend in India, Griekenland, en zelfs het oude Babylonië.

een geometrische veelterm uit Viète ‘ s De Recognitione Aequationum (1615), die in onze notatie vertaald kan worden als A4+2B A3 A3+B2 A2 A2. Onder andere verschillen, noteer de voorzetsels ” in “voor vermenigvuldiging, en het ontbreken van de coëfficiënt” 1 “voor de” een quad. quad.”

Algebra vóór 1500, of het nu in het Arabisch, Latijn of Italiaans was, werd voornamelijk gebruikt voor numerieke probleemoplossing door beoefenaars zoals kooplieden, regeringssecretarissen en landmeters. Slechts een paar wiskundigen gebruikten het voor meer’ wetenschappelijke ‘ exploits, zoals Diophantus in de 3e eeuw CE, Omar Khayyam in de 11e eeuw, en Jordanus de Nemore in de 13e eeuw.

Algebra begon de aandacht te trekken van theoretisch gelijkgestemde wiskundigen in het zestiende-eeuwse Italië. Wiskundigen als Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia, Girolamo Cardano en Rafael Bombelli hadden uiteindelijk onherleidbare kubieke en kwartische vergelijkingen opgelost, en in het proces begonnen ze negatieve en complexe getallen te onderzoeken.

portret van Viète uit Savériens Histoire des Philosophes uit 1773.

François Viète
François Viète (1540 -1603), een Franse advocaat aan het Hof van Hendrik IV, nam de algebra in een heel andere richting aan dan zijn voorgangers. Vanaf 1591 publiceerde hij een reeks korte verhandelingen waarin zijn algebraïsche kennis en onbekenden, die hij ‘grootheden’ noemt, onbegrensde dimensies bezitten en, voor het eerst, arbitraire kennis in notatie wordt weergegeven. Het is vooral vanwege zijn notationele innovaties dat hij door sommige historici is gecrediteerd als de grondlegger van de moderne algebra.Ondanks Viète ‘ s belang, en deels door zijn eigen kortzichtige en soms verwarrende stijl, is zijn werk verkeerd begrepen en heeft het niet de serieuze aandacht gekregen die het verdient. Om te beginnen, wat zijn die hoofdletters die hij gebruikt in zijn nieuwe algebra? Jeffrey Oaks, hoogleraar wiskunde aan de Universiteit van Indianapolis, repareert dit echter. Bijna twee decennia geleden besloot hij zijn twee belangrijkste interesses, wiskunde en geschiedenis, te combineren in de studie van de middeleeuwse Arabische wiskunde. Professor Oaks riep de hulp in van een Palestijnse collega om hem Arabisch te leren en begon met de studie van de Arabische algebra. Zijn vroege werk legde de conceptuele verschillen tussen middeleeuwse en moderne algebra bloot, en die studies legden de basis voor zijn latere werk over Viète.

premoderne veeltermen
Oaks ontdekten dat algebraïsten vóór Viète de objecten van hun studie, dat wil zeggen monomen, veeltermen en vergelijkingen, anders hadden opgevat dan we nu doen. Een premoderne veelterm werd beschouwd als een verzameling van verschillende soorten getallen of machten, zonder enige operaties aanwezig. Waar onze x2 + 3x bijvoorbeeld is opgebouwd uit de bewerkingen van exponentiatie, scalaire vermenigvuldiging en optellen, was het middeleeuwse equivalent ‘a māl and three things’ (hier vertaald uit het Arabisch) gewoon een verzameling van vier items van twee soorten, zoals ‘een appel en drie bananen’. Deze interpretatie lag achter de algebra in het Oudgrieks, middeleeuws Arabisch, Latijn en Italiaans, en zelfs in de algebra van het zestiende-eeuwse Europa.Viète was ook de eerste wiskundige die verder ging dan
de derde dimensie in de meetkunde.

een nieuwe algebra voor meetkunde
vóór Viète waren de knowns en unknowns in de algebra positieve getallen. Viète wijkte van deze norm af, maar op een manier die voorheen niet goed was geanalyseerd. Professor Oaks heeft het geheel van Viète ‘s werk besproken, samen met een uitgebreide reeks wiskundige literatuur uit die periode, en heeft vastgesteld dat Viète’ s brieven, die staan voor zijn kennis en onbekenden, in plaats daarvan geometrische grootheden zoals lijnen en oppervlakken vertegenwoordigen. Meer specifiek vertegenwoordigen ze de relatieve groottes die geometrische groottes ten opzichte van elkaar hebben, zonder rekening te houden met mogelijke numerieke maten. Met andere woorden, Viète creëerde een algebra voor de klassieke meetkunde.

links: een veelterm uit Michael Stifels boek Arithmetica Integra (1544), met premoderne notatie. Wij zouden het als 150x-√(4500×2)+x2 schrijven. Noteer de coëfficiënt van ” 1 ” op de laatste term. Vergelijk met de notatie op de vorige pagina. Recht: Titelpagina van Vasset ‘s 1630 Franse vertaling van twee van Viète’ s werken, met Viète aan de rechterkant.

wat Viète dreef was zijn interesse in het produceren van nauwkeurige astronomische tabellen. Hij was trouw aan de Griekse traditie die werd geïllustreerd in Ptolemaeus ‘ Almagest (2e eeuw n.Chr.) door de meetkunde te beschouwen als de theoretische basis voor berekeningen in de astronomie. (Zelfs als magnitudes geen intrinsieke numerieke maat hebben, kan men numerieke maat aan hen toewijzen. Ptolemaeus had de algebra niet gebruikt om zijn stellingen uit te drukken of zijn berekeningen uit te voeren, maar Viète vond via zijn onderzoeken in de trigonometrie een manier om de numerieke algebra van zijn tijd aan te passen aan een meetkundige setting. Door abstract te werken met hogere dimensionale grootheden en door verhoudingen op te lossen in vergelijkingen, legde hij de basis voor een nieuwe algebra. Deze nieuwe algebra, die hij logistice speciosa noemde, was niet zomaar een stap in de richting van de moderne algebra. Het was een complete revisie van de basis van de kunst. Het inspireerde de ontwikkelingen van Fermat en Descartes, die uiteindelijk leidden tot de vervanging van de Euclidische meetkunde door algebra als de standaard manier om wetenschappelijke resultaten uit te drukken.

een radicaal nieuw concept van polynoom, en een nieuwe notatie erbij
een natuurlijk gevolg van de verschuiving van een rekenkundige naar een geometrische basis is dat de veeltermen van Viète op een geheel nieuwe manier werden begrepen. Waar premoderne veeltermen gewoon aggregaties van de machten waren, zijn de veeltermen van Viète modern in de zin dat ze nu zijn opgebouwd uit operaties. Voor Viète werden de krachten van het onbekende in de algebra beschouwd als verschillende typen getallen en kregen ze individuele namen. Bijvoorbeeld, in 1575, Xylander riep de eerste graad Onbekende ” numerus “en de tweede graad Onbekende” quadratum”, die hij afgekort als” N “en”Q”. In een probleem schreef hij bijvoorbeeld “1Q + 6N + 36” voor wat onze x2 + 6x + 36 zou zijn. Hoewel de notatie van Xylander er modern uit kan zien, functioneren de letters anders dan onze bevoegdheden van x. De “Q” is een denominatie of type (zoals “euro”), en alleen met een coëfficiënt (hier een “1”) gaat het uit van een waarde (zoals “1 euro”). Dit is hoe alle verschillende algebra ‘ s voorafgaand aan Viète functioneerden, zowel retorisch als in notatie.

René Descartes, wiens 1637 La Geometrie voortbouwde op Viète ‘ s nieuwe algebra.

de notatie van Viète ‘ s logistice speciosa presteert anders dan haar premoderne tegenhanger. Viète uitgedrukt Xylander polynoom als “a quadratum, + B in A, + b quadrato”, of vertaald in het Engels,”A kwadraat + B (vermenigvuldigd) met A + B kwadraat”. Hoewel Viète ‘ s notatie er misschien iets minder symbolisch uitziet, waren zijn letters de eerste in de algebra die waarden aanduiden, dus het ontbreken van een “1” vóór het “A quadratum”. Deze term vertegenwoordigt de grootte van een vierkant ten opzichte van andere groottes. Deze reconceptie opende de deur naar operaties in algebraïsche uitdrukkingen buiten veeltermen die eerder afwezig waren geweest.

omdat Viète ‘ s algebra in de meetkunde is gebaseerd, zijn zijn coëfficiënten noodzakelijkerwijs willekeurige meetkundige magnituden (hier “B” en “B quadrato” in plaats van “6” en “36”). Hierdoor kon de structuur van oplossingen worden afgebeeld in een vereenvoudigde vergelijking, of formule; en omdat Viète ‘ s doel uiteindelijk numerieke berekening was, kon deze formule worden hergebruikt, door verschillende kennis te vervangen om tabellen te genereren.De enige serieuze studie over de ontologie van Viète ‘ s logistice speciosa was een artikel uit 1936 van de in Duitsland getrainde filosoof Jacob Klein. Klein, op zoek naar de oorsprong van de moderne, op axioma gebaseerde wiskunde, zag de objecten van Viète ‘ s algebra niet als geometrische grootheden, noch als getallen, maar als abstracte entiteiten die de twee overstijgen. Klein ‘ s proefschrift kreeg tractie met zijn vertaling in het Engels in 1968. Hoewel het niet universeel geaccepteerd is, is het tot nu toe de enige serieuze studie van de ontologie die ten grondslag ligt aan Viète ‘ s algebra.

Viète ‘ s meetkundige algebra, gebouwd op een nieuwe fundering, zou uiteindelijk de oude premoderne algebra verdrijven. Volgens Oaks ging Klein waarschijnlijk op een dwaalspoor omdat hij (en andere historici ook) niet in de gaten had dat Viète in twee van zijn stellingen met vierdimensionale geometrische grootheden werkte. Geen enkele wiskundige vóór Viète was verder gegaan dan de derde dimensie. Viète maakte deze sprong, niet door een diep inzicht in de aard van de meetkunde, maar gewoon omdat het correcte waarden geeft wanneer toegepast op numerieke berekening. Net als andere onmogelijke objecten van zijn Eeuw, zoals negatieve en complexe getallen, werden hogere dimensies in de meetkunde toegelaten omdat ze nuttig bleken te zijn.

Impact
Viète ‘ s nieuwe meetkundige algebra zou uiteindelijk de oude algebra verdringen. Zijn concept van polynoom, samen met zijn roman notatie, werd opgenomen in gewijzigde vorm in Descartes’ 1637 La Geometrie. Descartes veronderstelde een intrinsieke numerieke maat voor zijn grootheden, en introduceerde dus getallen in de algebra. Hij gaf ook de voorkeur aan de kleine letters x en y, die we vandaag nog steeds gebruiken, om Viète ‘ s hoofdletter A, E, enz. Het is de algebra van Descartes die de standaardmodus werd en blijft voor het uitdrukken van wiskunde, natuurkunde en andere gebieden. Met Viète ‘ s werk was een praktische techniek van kooplieden en landmeters op weg om de taal van de wetenschap te worden.

persoonlijke reactie

wat was de aanleiding voor uw onderzoek naar middeleeuwse Arabische wiskunde?

ik wist zelfs als student dat Arabische wiskunde even belangrijk is als understudy. Terwijl veel mensen werken aan, laten we zeggen, achttiende-eeuwse wiskunde, lezen maar heel weinig Arabische manuscripten. Ik ben momenteel een van de weinige mensen in de wereld die werkt aan Arabische algebra.

wat zijn uw plannen voor toekomstig onderzoek op dit gebied?

momenteel werk ik samen met Jean Christianidis aan een vertaling en commentaar van de Arithmetica van Diophantus van Alexandrië. Ik ben ook andere studies over Arabische wiskunde aan het plannen, en Ik zal uiteindelijk verder kijken dan Viète om de algebra van 17de eeuw Europa te onderzoeken.

Categorieën: Articles

0 reacties

Geef een antwoord

Avatar plaatshouder

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.