François Viète jest uważany przez wielu historyków za twórcę nowoczesnej algebry, ale jego praca nie otrzymała naukowej uwagi, na którą zasługuje. Profesor Jeffrey Oaks z Uniwersytetu Indianapolis stara się naprawić tę nierównowagę. Poprzez swoje badania nad średniowieczną i renesansową matematyką, profesor Oaks pokazuje, jak Viète przywrócił algebrę na geometrycznym fundamencie, a w procesie tym stworzył zupełnie nową notację. Jego prace zainspirowały rozwój Fermata i Kartezjusza i doprowadziły do tego, że algebra stała się językiem nauki.

słowo algebra wywodzi się z arabskiego al-dżabr, co oznacza przywrócenie lub ponowne połączenie połamanych części. Algebrę można prześledzić w IX wieku n. e.w arabskich księgach na ten temat, a wcześniej okazało się, że była praktykowana w Indiach, Grecji, a nawet starożytnej Babilonii.

wielomian geometryczny Z De Recognitione Aequationum Viète ‘ a (1615), który można przetłumaczyć na nasz zapis jako A4+2b∙ A3+B2∙ A2. Wśród innych różnic zwróć uwagę na przyimki ” w “dla mnożenia i brak współczynnika” 1 “Przed” a quad. quad.”

Algebra przed 1500, czy to w języku arabskim, łacińskim, czy włoskim, była używana głównie do rozwiązywania problemów numerycznych przez praktyków, takich jak kupcy, sekretarze rządowi i geodeci. Tylko kilku matematyków wykorzystało go do bardziej “naukowych” wyczynów, takich jak Diophantus w III wieku n. e., Omar Khayyam w XI wieku i Jordanus de Nemore w XIII wieku.

Algebra zaczęła przyciągać uwagę teoretycznie myślących matematyków w XVI-wiecznych Włoszech. Matematycy tacy jak Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia, Girolamo Cardano i Rafael Bombelli w końcu rozwiązali nieredukowalne równania sześcienne i kwartalne, a w tym procesie zaczęli badać liczby ujemne i zespolone.

Portret Viète z Histoire des Philosophes Savérien z 1773 roku.

François Viète
François Viète (1540 -1603), Francuski prawnik na dworze Henryka IV, przyjął algebrę w zupełnie innym kierunku niż jego poprzednicy. Począwszy od 1591 roku, opublikował serię krótkich traktatów, w których jego algebraiczne wiedza i niewiadome, które nazywa “magnitudes”, posiadają wymiar bez ograniczeń i, po raz pierwszy, arbitralne wiedza są reprezentowane w notacji. To głównie z powodu jego notacji innowacji, że został uznany przez niektórych historyków jako twórca współczesnej algebry.

niezrozumiany matematyk
pomimo znaczenia Viète ‘ a, a częściowo ze względu na jego własny zwięzły i czasami mylący styl, jego praca została źle zrozumiana i nie otrzymała poważnej uwagi, na którą zasługuje. Na początek, jakie są te wielkie litery, których używa w swojej nowej algebrze? Jeffrey Oaks, profesor matematyki na Uniwersytecie Indianapolis, jednak, jest naprawienie tego. Prawie dwie dekady temu postanowił połączyć swoje dwa główne zainteresowania, matematykę i historię, w badaniu średniowiecznej matematyki arabskiej. Profesor Oaks poprosił o pomoc palestyńskiego kolegę, aby nauczył go arabskiego i rozpoczął naukę arabskiej algebry. Jego wczesne prace ujawniły konceptualne różnice między średniowieczną i nowożytną algebrą, a badania te położyły podwaliny pod jego późniejszą pracę nad Viète.

przednowoczesne wielomiany
Oaks odkrył, że algebraiści przed Viète wymyślili obiekty swoich badań, czyli monomiany, wielomiany i równania, inaczej niż my dzisiaj. Wielomian przednowoczesny był uważany za zbiór różnych rodzajów liczb lub potęg, bez żadnych obecnych operacji. Gdzie na przykład nasz x2 + 3x jest zbudowany z operacji wykładnictwa, mnożenia skalarnego i dodawania, średniowieczny odpowiednik “a māl i trzy rzeczy” (tutaj przetłumaczony z arabskiego) był po prostu zbiorem czterech elementów dwóch rodzajów, jak powiedzenie “jabłko i trzy banany”. Ta interpretacja leżała za algebrą w starożytnej Grecji, średniowiecznym arabskim, łacinie i włoskim, a nawet w algebrze szesnastowiecznej Europy.

Viète był również pierwszym matematykiem, który badał poza
trzeci wymiar geometrii.

Nowa algebra dla geometrii
przed Viète, znane i nieznane w algebrze były liczbami dodatnimi. Viète odbiegał od tej normy, ale w sposób, który wcześniej nie był właściwie analizowany. Profesor Oaks dokonał przeglądu całej twórczości Viète ‘a, wraz z szeroką gamą literatury matematycznej z tego okresu i ustalił, że litery Viète’ a, stojące za jego znanymi i nieznanymi, reprezentują zamiast nich geometryczne wielkości, takie jak linie i powierzchnie. Dokładniej, reprezentują one względne rozmiary, jakie mają względem siebie wielkości geometryczne, bez względu na możliwe miary liczbowe. Innymi słowy, Viète stworzył algebrę dla geometrii klasycznej.

po lewej: wielomian z książki Michaela Stifela Arithmetica Integra (1544), pokazujący przednowoczesną notację. Zapisalibyśmy to jako 150x – √(4500×2)+x2. Zwróć uwagę na współczynnik ” 1 ” w ostatnim semestrze. Porównaj z notacją na poprzedniej stronie. Prawo: Strona tytułowa do francuskiego tłumaczenia dwóch dzieł Viète z 1630 roku, ukazującego Viète po prawej stronie.

tym, co napędzało Viète, było jego zainteresowanie tworzeniem dokładnych tablic astronomicznych. Był wierny greckiej tradycji przedstawionej w Almageście Ptolemeusza (II wiek n. e.), traktując geometrię jako podstawę teoretyczną obliczeń w astronomii. (Nawet jeśli wielkości nie mają wewnętrznej miary numerycznej, można im przypisać miary numeryczne.) Ptolemeusz nie używał algebry do wyrażania swoich twierdzeń ani do wykonywania swoich obliczeń, ale Viète, poprzez swoje badania w trygonometrii, znalazł sposób na dostosowanie algebry numerycznej swoich czasów do Ustawienia geometrycznego. Pracując abstrakcyjnie z wielkością o wyższych wymiarach i rozwiązując proporcje w równania, położył podwaliny pod nową algebrę. Ta nowa algebra, którą nazwał logistice speciosa, nie była kolejnym krokiem w kierunku współczesnej algebry. Był to gruntowny remont samego fundamentu sztuki. Zainspirowało to rozwój Fermata i Kartezjusza, co ostatecznie doprowadziło do zastąpienia geometrii euklidesowej algebrą jako standardowym sposobem wyrażania wyników naukowych.

radykalnie nowe pojęcie wielomianu i nowa notacja z nim związana
naturalną konsekwencją przejścia z arytmetycznej do geometrycznej podstawy jest to, że wielomiany Viète ‘ a zostały zrozumiane w zupełnie nowy sposób. Gdzie przednowoczesne wielomiany były po prostu agregacjami potęg, wielomiany Viète ‘ a są nowoczesne w tym sensie, że są teraz zbudowane z operacji. Przed Viète ‘ em potęgi nieznanych w algebrze uznawano za różne rodzaje liczb i nadawano im indywidualne nazwy. Na przykład w 1575 roku Xylander nazwał nieznany pierwszego stopnia “numerus”, a nieznanego drugiego stopnia “quadratum”, które skrócił do “N” I “Q”. W jednym z problemów, na przykład, napisał “1Q + 6N + 36” dla tego, co byłoby naszym x2+6x+36. Podczas gdy notacja Xylandera może wyglądać nowocześnie, litery funkcjonują inaczej niż nasze potęgi x. “Q” jest nominałem lub typem (jak “euro”) i tylko przy współczynniku (tutaj “1”) przyjmuje wartość (jak “1 euro”). Tak funkcjonowały wszystkie różne algebry poprzedzające Viète, zarówno retorycznie, jak i w notacji.

René Descartes, którego w 1637 La Geometrie zbudował na nowej algebrze Viète ‘ a.

notacja firmy Viète logistice speciosa działa inaczej niż jej wcześniejszy odpowiednik. Viète wyraził wielomian Ksylandera jako ” a quadratum, + B in a, + b quadrato “lub w tłumaczeniu na język angielski”a kwadrat + B (pomnożony) przez a + b kwadrat”. Podczas gdy notacja Viète ‘ a może wyglądać nieco mniej symbolicznie, jego litery były pierwszymi w algebrze, które oznaczały wartości, stąd brak “1” Przed “a quadratum”. Termin ten oznacza wielkość kwadratu w stosunku do innych wielkości. To pojednanie otworzyło drzwi do operacji w wyrażeniach algebraicznych poza wielomianami, których wcześniej nie było.

Ponadto, ponieważ algebra Viète ‘ a opiera się na geometrii, jego współczynniki są z konieczności dowolnymi wielkościami geometrycznymi (tutaj “B” i “B quadrato” zamiast “6” i “36”). Umożliwiło to przedstawienie struktury rozwiązań w uproszczonym równaniu lub formule; a ponieważ celem Viète ‘ a było ostatecznie obliczenie numeryczne, wzór ten mógł być ponownie użyty, zastępując różne znane do generowania tabel.

poza trzecim wymiarem
przed Oaks jedynym poważnym badaniem ontologii logistice speciosa Viète był artykuł z 1936 roku autorstwa niemieckiego filozofa Jacoba Kleina. Klein, poszukując źródeł współczesnej, opartej na aksjomatach matematyki, widział obiekty algebry Viète ‘ a nie jako geometryczne wielkości, ani jako liczby, ale jako abstrakcyjne byty, które wykraczają poza te dwa. Teza Kleina zyskała na popularności wraz z jej tłumaczeniem na język angielski w 1968 roku. Choć nie jest powszechnie akceptowana, do dziś pozostaje jedyną poważną nauką ontologii leżącej u podstaw algebry Viète ‘ a.

algebra geometryczna Viète ‘ a, zbudowana na nowych fundamentach, ostatecznie wyparłaby starą przednowoczesną algebrę.

według Oaksa Klein prawdopodobnie zbłądził głównie dlatego, że on (i inni historycy także) nie zauważyli, że Viète pracował z czterowymiarowymi geometrycznymi magnitudami w dwóch swoich propozycjach. Żaden matematyk przed Viète nie wyszedł poza trzeci wymiar. Viète dokonał tego skoku, nie przez głęboki wgląd w naturę geometrii, ale po prostu dlatego, że daje prawidłowe wartości, gdy stosuje się je do obliczeń numerycznych. Podobnie jak inne niemożliwe obiekty jego wieku, takie jak liczby ujemne i zespolone, wyższe wymiary w geometrii zostały dopuszczone, ponieważ okazały się przydatne.

Impact
Nowa algebra geometryczna Viète ‘ a ostatecznie wyparłaby starą algebrę. Jego koncepcja wielomianu, wraz z jego nową notacją, została podjęta w zmodyfikowanej formie w Kartezjuszu 1637 La Geometrie. Kartezjusz zakładał wewnętrzną miarę liczbową dla swoich wielkości, a tym samym ponownie wprowadził liczby do algebry. Wolał również małe litery x i y, których używamy do dziś, niż duże litery A, E itd. To algebra Kartezjusza stała się i pozostaje do dziś standardowym sposobem wyrażania Matematyki, Fizyki i innych dziedzin. Dzięki pracy Viète ‘ a praktyczna technika kupców i geodetów była na drodze do stania się językiem nauki.

odpowiedź osobista

co początkowo skłoniło cię do badań nad średniowieczną matematyką arabską?

już jako student wiedziałem, że matematyka arabska jest równie ważna jak jej zrozumienie. Podczas gdy wielu ludzi pracuje nad, powiedzmy, osiemnastowieczną matematyką, bardzo niewielu czyta Arabskie rękopisy. Obecnie jestem jedną z niewielu osób na świecie zajmujących się algebrą arabską.

jakie są Twoje plany na przyszłe badania w tej dziedzinie?

obecnie pracuję nad tłumaczeniem i komentarzem do arytmetyki Diofantus Aleksandryjski ze współautorem, Jeanem Christianidisem. Planuję również inne badania nad arabską matematyką i w końcu zajrzę poza Viète, aby zbadać algebrę XVII-wiecznej Europy.

Kategorie: Articles

0 komentarzy

Dodaj komentarz

Avatar placeholder

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.